De wiskunde achter de loterij: zo klein is de kans om de loterij te winnen echt

Totaal aantal mogelijke uitkomsten

Bij het berekenen van de kans moet je rekening houden met het totaal aantal mogelijke uitkomsten. Dit kun je als volgt berekenen:

Dat ziet er ingewikkelder uit dan het is. De formule zegt gewoon dat je alle mogelijke uitkomsten bij elkaar optelt. Bij een dobbelsteen zijn dat bijvoorbeeld zes mogelijke uitkomsten, want er zijn zes ogen. Bij een loterij kunnen dat miljoenen lotnummers of combinaties zijn. Hoe groter n, hoe kleiner de kans wordt dat precies jouw lot of combinatie wordt getrokken.

Zodra je meerdere getallen uit een grotere reeks moet kiezen, loopt het aantal mogelijkheden razendsnel op. Daardoor lijkt zes getallen juist hebben misschien haalbaar, maar wiskundig gaat het wel om miljoenen mogelijke combinaties. Daar komt bij sommige loterijen nog een extra stap bovenop. Denk aan een bonusgetal, kleur, sterrengetal of ander aanvullend element. Dan moet je niet alleen de hoofdcombinatie correct hebben, maar ook dat extra element. De kans wordt dan opnieuw kleiner.

Combinaties bij een loterij

Bij veel getallenloterijen moet je meerdere getallen kiezen uit een grotere reeks. Daarbij maakt de volgorde meestal niet uit. De combinatie 3-8-14-22-31-41 is dezelfde combinatie als 41-31-22-14-8-3. Je hebt nog altijd dezelfde zes getallen gekozen. Wiskundig bereken je zulke combinaties met de volgende formule:

Hierbij is n het totale aantal getallen waaruit je mag kiezen en is r het aantal getallen dat je daadwerkelijk kiest. Het uitroepteken staat voor faculteit. Dat betekent dat je alle positieve gehele getallen tot dat getal met elkaar vermenigvuldigt. Een voorbeeld maakt dit duidelijk. Stel dat je twee getallen moet kiezen uit 4 mogelijke getallen. 4! is dan gelijk aan 4 × 3 × 2 × 1 = 24 en 2! is gelijk aan 2 × 1.

Dan krijg je:

Er zijn met andere woorden zes verschillende combinaties mogelijk wanneer je twee getallen kiest uit vier getallen. Bij een klassieke loterij kies je echter zes getallen, bijvoorbeeld uit 45 mogelijke getallen. Dan krijg je veel meer mogelijke combinaties:

Er zijn dan dus 8.145.060 verschillende combinaties mogelijk. Als je precies één combinatie invult, is je kans op die perfecte combinatie dus 1/8.145.060. Bij sommige loterijen voegt men nog een extra element toe, zoals een bonusgetal of een kleur. Dan wordt de kans weer kleiner. Als er bijvoorbeeld vijf kleuren zijn waaruit je mag kiezen, moet je het aantal mogelijkheden met vijf vermenigvuldigen. De kans op de jackpot wordt dan slechts 1/40.725.300. Dit verklaart waarom de loterij winnen bij getallenloterijen zo moeilijk is: niet omdat één getal juist raden lastig is, maar omdat je precies de juiste combinatie tussen miljoenen mogelijke combinaties moet hebben.

Verschillende kansen bij een loterij

Bij loterijen geeft men soms de winkans weer, maar daarbij is het wel opletten geblazen. De belangrijkste vraag is dan: welke winkans? Er zijn namelijk drie verschillende kansen die je zou kunnen bestuderen:

1. De kans op de jackpot;

2. De kans op een prijs, hoe klein of groot ook;

3. De kans dat je meer wint dan je hebt ingezet.

Die drie zijn uiteraard niet hetzelfde. Een loterij kan bijvoorbeeld een redelijke kans geven op een kleine prijs, maar tegelijk een extreem kleine kans op de hoofdprijs. Als je € 15 inzet en € 10 wint, heb je technisch gezien misschien een prijs gewonnen, maar financieel ben je nog steeds € 5 kwijt. Wie wil weten welke loterij de meeste kans biedt, moet dus eerst bepalen: meeste kans waarop? Op een kleine prijs, op winst boven de inleg of op de jackpot?

Huisvoordeel van de loterij

Dankzij de verwachtingswaarde is het ook mogelijk om het huisvoordeel van de loterij te bepalen. Met het huisvoordeel bedoelen we het deel van de inzet dat gemiddeld niet terugvloeit naar de spelers.

Eerst bereken je hoeveel een lot gemiddeld bruto oplevert. Daarna trek je de kostprijs van het lot daarvan af. De formule is:

Netto verwachtingswaarde = verwachte uitkering – inzet

Stel dat een loterij gemiddeld 60% van de inzet als prijzengeld uitkeert. Dan betekent dit dat van elke euro inzet gemiddeld € 0,60 teruggaat naar de spelers. De overige € 0,40 gaat niet terug naar de speler en wordt gebruikt voor de organisatiekosten, afdrachten, winst en/of voor goede doelen. Het huisvoordeel bedraagt in dit geval 40%. Bij een lot van € 15 is de verwachte bruto uitkering dus € 9. De netto verwachtingswaarde is in dit geval - € 6. Gemiddeld verlies je hier € 6 per lot of 40%, wat gelijk is aan het huisvoordeel. Ook hier zie je waarom de verwachtingswaarde berekenen nuttig is: het maakt zichtbaar hoeveel van je inzet gemiddeld terugkomt en hoeveel gemiddeld verdwijnt.

Staatsloterij

Bij de Staatsloterij kies je niet zelf de zes getallen uit een reeks, maar speel je mee met een uniek lotnummer. De prijzen worden dan verloot onder de verkochte lotnummers. Bij de maandelijkse trekking wordt de jackpot alleen uitgekeerd als de jackpotmachine dat bepaalt. Als de jackpot valt, wordt een winnend lotnummer uit alle verkochte lotnummers getrokken.

De Staatsloterij communiceert zelf een winkans van 51,6% op een prijs. De kans op een prijs die hoger ligt dan de inleg is volgens de Staatsloterij 1 op 7,6 of 13,2%. Door de unieke werkwijze van de Staatsloterij is het niet eenvoudig om de jackpot kans van de Staatsloterij te berekenen. Uit noodzaak vertrekken we van een bestaande trekking, de Oudejaarstrekking. Toen werden meer dan 7 miljoen loten verkocht. Dat zorgde ervoor dat de kans op de hoofdprijs ongeveer 1 op 7,1 miljoen was.

Lotto

Door de unieke werkwijze van de Staatsloterij is de winkans minder zuiver uit te rekenen. Dit is anders bij Lotto, waar je zelf zes getallen kiest uit 45. Een lot kost daarbij € 2. Sinds februari 2025 werkt Lotto met een jackpotmachine met 11 zwarte ballen en een gele bal. Als de gele bal wordt getrokken, valt de jackpot gegarandeerd, ook als niemand alle zes getallen goed heeft. Wordt een zwarte bal getrokken, dan valt de jackpot alleen als iemand alle zes getallen goed heeft. We berekenen de kans dat jij alle zes getallen juist hebt. Er zijn in dit geval 8.145.060 mogelijke combinaties. Als jij één combinatie invult, heb je 1 kans op 8.145.060 dat je alle zes getallen goed hebt.

De kans op een kleinere prijs is natuurlijk veel groter. Lotto keert al een prijs uit vanaf dat je twee getallen goed hebt. Ook bij vijf getallen (al dan niet plus reservegetal), vier getallen (al dan niet plus reservegetal), drie getallen (al dan niet plus reservegetal) en twee getallen win je. Als we dan alle prijscombinaties optellen, komen we uit op 1.427.895 winnende combinaties op een totaal van 8.145.060 combinaties. De kans op een prijs is dus 17,53% of ongeveer 1 op 5,7.

De prijs voor twee getallen is evenwel een gratis lot. Dat is eigenlijk niet echt winst. Als we die categorie niet meetellen en enkel op zoek gaan naar de kans op een prijs die hoger is dan de inleg, blijven er slechts 320.670 combinaties over. De kans is dan nog maar 3,94% of ongeveer 1 op 25,4.

Eurojackpot

Bij Eurojackpot kies je vijf getallen uit een reeks van vijftig. Daarnaast zijn er nog twee bonusgetallen uit een reeks van een tot en met twaalf. Een lot kost € 2. De kans op de jackpot bereken je hier best in twee stappen. Eerst bereken je het aantal mogelijke combinaties. We doen dit voor de vijf gewone getallen en voor de twee bonusgetallen. Omdat beide onderdelen juist moeten zijn als je de jackpot wil winnen, vermenigvuldigen we dit. We krijgen dus de volgende formule:

De kans om bij Eurojackpot de hoofdprijs te winnen, bedraagt dus slechts 1 op 139.838.160.

De kans op een willekeurige prijs is veel groter, maar nog altijd vrij klein. Er zijn twaalf prijscategorieën die gaan van vijf getallen + twee bonusgetallen tot twee getallen + een bonusgetal. Dit resulteert in een totale winkans van 1 op 26 of ongeveer 3,85%.

Optimismebias

Een belangrijke reden waarom loterijen zo aantrekkelijk blijven, is optimismebias. Mensen weten meestal wel dat de kans op de jackpot klein is, maar passen die kennis niet altijd consequent op zichzelf toe. De gedachte is niet: “de kans is slechts 1 op vele miljoenen”, maar eerder: “het zal maar gebeuren”. Dat is begrijpelijk. De inzet is relatief klein, terwijl de mogelijke beloning extreem groot is. Daardoor krijgt de droom meer gewicht dan de kansberekening. Een lot van enkele euro’s voelt niet als een serieuze financiële beslissing, maar als een toegangsticket tot een fantasie. Een kleine kans op een levensveranderende uitkomst voelt voor veel mensen waardevoller dan het gemiddelde verlies per lot. Je koopt niet alleen een uiterst kleine kans, maar ook even hoop. Dat verklaart waarom loterij winnen voor veel mensen een aantrekkelijk idee blijft, ook wanneer ze rationeel weten dat de kans bijzonder klein is.

Beschikbaarheidsheuristiek

De kleine kans schat men bovendien ook verkeerd in. We spreken daarbij over beschikbaarheidsheuristiek. Dat is de neiging om de kans op een gebeurtenis hoger in te schatten wanneer voorbeelden ervan gemakkelijk in je hoofd opkomen. Tversky en Kahneman beschreven dit mechanisme al in hun klassieke werk over oordelen onder onzekerheid: mensen beoordelen kansen vaak niet puur rationeel, maar op basis van voorbeelden die beschikbaar, opvallend of makkelijk voorstelbaar zijn. Bij loterijen zie je dit heel duidelijk. Winnaars halen de media. Ze staan met een cheque op de foto en vertellen wat ze met het geld gaan doen, al dan niet anoniem. De miljoenen mensen die niets winnen, zie je niet. Daardoor ontstaat een scheef beeld. De winnaar is zichtbaar, concreet en memorabel. De verliezers zijn onzichtbaar, abstract en verspreid over de massa. Wie een nieuwsbericht ziet over iemand die de jackpot won, denkt sneller: “het kan dus echt”. Dat klopt ook, maar het zegt weinig over de kans dat jij het wordt. Ook bijna-winst kan daarbij misleidend werken, bijvoorbeeld als je getallenreeks bijna genoeg cijfers goed had of er telkens maar één cijfer van zat. Wiskundig is dat natuurlijk nonsens, maar psychologisch voelt het toch aan alsof je bijna had gewonnen. Het gevoel van nabijheid, het idee dat je dichterbij kwam, zet aan tot verder spelen.

Slecht met kansen inschatten

Wij mensen zijn niet bijzonder goed in het inschatten van extreem kleine kansen. Een kans van 0,000000715% zegt de meeste mensen nauwelijks iets. Daarom helpt het om zulke kansen tastbaarder te maken met vergelijkingen. Een bekende manier om dat te doen, is vergelijken met een sterftekans. Dat klinkt wat donker, maar het principe is nuttig: je zet een onvoorstelbaar kleine kans naast een andere kans die mensen intuïtief beter begrijpen. Stel bijvoorbeeld dat we de Eurojackpot vergelijken met de kans dat een 20-jarige Nederlander binnen één jaar overlijdt. Volgens CBS-cijfers voor 2024 was de kans voor 20-jarigen om één jaar ouder te worden 99,97%. De kans om binnen dat jaar te overlijden was dus ongeveer 0,03%, oftewel ongeveer 1 op 3.300. Dat is ruwweg 42.000 keer groter dan de kans om met één rijtje de Eurojackpot te winnen.

Psychologisch werkt dit vooral omdat mensen beter omgaan met natuurlijke frequenties dan met kale percentages. Onderzoek naar risicocommunicatie laat zien dat zulke frequenties wel degelijk helpen. Toch is er een belangrijke nuance. Een vergelijking met sterftekans helpt vooral om de grootteorde te begrijpen. Ze zorgt er niet automatisch voor dat mensen stoppen met meespelen. Dat blijkt ook uit onderzoek naar gokpreventie: beter leren rekenen met winkansen en verwachtingswaarde kan mensen wel beter wapenen tegen gokdenkfouten, maar leidt niet vanzelf tot minder gokgedrag.

Hersenen en dopamine

Tot slot helpen onze hersenen niet bepaald. Wie een kleine prijs wint, ervaart dat vaak niet als een droge statistische uitkomst, maar als een positief moment. Je denkt niet aan alle keren waarop je hebt verloren en die statistisch ook van tel zijn. Er gebeurt iets: je lot blijkt toch iets waard te zijn, je krijgt een gratis lot of er komt een klein bedrag terug. Dat voelt als bevestiging. Daarbij speelt dopamine een belangrijke rol. Dopamine wordt vaak eenvoudig omschreven als een “geluksstofje”, maar dat is eigenlijk wat te kort door de bocht. Het gaat vooral om een stof die betrokken is bij beloning, verwachting, motivatie en leren. Dat maakt kleine prijzen krachtiger dan ze op papier lijken. Een prijs van € 5 of € 10 verandert je leven niet. Toch kan zo’n kleine winst het gevoel geven dat meespelen zin heeft. Zeker een gratis lot is psychologisch slim: je krijgt geen groot bedrag, maar wel een nieuwe kans om verder te dromen. Dit lijkt op wat in de psychologie een variabel beloningsschema wordt genoemd. Je krijgt niet elke keer een beloning, maar af en toe. En net dat onvoorspelbare karakter kan (gok)gedrag versterken. Als je altijd zou verliezen, zou de motivatie snel verdwijnen. Als je altijd een kleine prijs zou winnen, wordt het voorspelbaar en minder spannend. Maar af en toe winnen houdt de verwachting levend.