Kansberekening bij Yahtzee
Yahtzee is een spel dat wordt gespeeld met vijf dobbelstenen en een scoreblok. Elke speler probeert met de dobbelstenen bepaalde combinaties te krijgen waarmee hij/zij punten scoort. De combinaties hebben veel weg van Poker.
Op deze pagina:
Hoe groot is de kans op Yahtzee?
De beste combinatie die mogelijk is, is Yahtzee. Dit zijn vijf dezelfde getallen. Uiteraard is dit erg lastig om te behalen. De kans dat je direct Yahtzee gooit is niet lastig te berekenen, dit is: 6/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 = 1/1296 = 0,077%. Maar laten we de Yahtzee regels volgen, wat is dan de kans dat je een Yahtzee maakt?
De speler krijgt de gelegenheid om met 5 dobbelstenen via 3 worpen bepaalde combinaties te gooien. De speler kan daarbij ook steeds slechts een deel van de dobbelstenen opnieuw gooien. We gaan hieronder de kans berekenen op een yahtzee (5-of-a-kind) in 3 worpen. Daarbij nemen we aan dat de speler de optimale strategie volgt: als hij bij een worp 2, 3 of 4 van dezelfde ogenaantallen werpt, zal hij bij de volgende worp alleen de overige dobbelstenen opnieuw werpen. Indien de uitkomsten allemaal verschillen, gooit hij de dobbelstenen allemaal opnieuw.
De kansberekening stap voor stap
De kansberekening is nogal complex, maar wordt berekend door een 5×5 matrix. Eerst de kansen bij de eerste worp:
| Uitkomst eerste worp | Kans |
|---|---|
| P(5 hetzelfde) | 1/1296 |
| P(4 hetzelfde) | 25/1296 |
| P(3 hetzelfde) | 125/648 |
| P(2 hetzelfde) | 75/108 |
| P(geen hetzelfde) | 5/54 |
De overgangsmatrix
Dit zetten we in de matrix:
| Van \ naar | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5/54 | 75/108 | 125/648 | 25/1296 | 1/6^4 |
| 2 | 0 | 5/9 | 10/27 | 15/6^3 | 1/6^3 |
| 3 | 0 | 0 | 25/36 | 5/18 | 1/6^2 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 5/6 | 1/6 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
De kansen na drie worpen
Op basis hiervan wordt de P3 berekend.
| Uitkomst na drie worpen | Kans |
|---|---|
| P(geen hetzelfde) | 0,00079 |
| P(2 hetzelfde) | 0,256 |
| P(3 hetzelfde) | 0,4524 |
| P(4 hetzelfde) | 0,2447 |
| P(5 hetzelfde) | 0,046 |
De kans op Yahtzee is dus 4,603% oftewel 1 op de 22 beurten.
Veelgestelde vragen over de kans op Yahtzee
De kans op vijf gelijke dobbelstenen roept steeds dezelfde vragen op. Hieronder staan de antwoorden op basis van de berekening hierboven.
Hoe groot is de kans op Yahtzee in één worp?
Die kans is 1/1296, ofwel 0,077 procent. Je berekent hem als 6/6 × 1/6 × 1/6 × 1/6 × 1/6: de eerste dobbelsteen mag alles zijn, de andere vier moeten die waarde volgen.
Hoe groot is de kans op Yahtzee in een volledige beurt?
Met drie worpen en een optimale strategie is de kans 4,603 procent. Dat komt neer op ongeveer één Yahtzee per 22 beurten.
Wat is de optimale strategie in de berekening?
Gooi je 2, 3 of 4 dezelfde ogenaantallen, dan houd je die vast en gooi je alleen de overige dobbelstenen opnieuw. Zijn alle vijf verschillend, dan gooi je alles opnieuw.
Hoeveel dobbelstenen heb je nodig voor Yahtzee?
Vijf dobbelstenen en een scoreblok. De combinaties lijken op die van poker.