Yahtzee
Yahtzee is een spel dat wordt gespeeld met vijf dobbelstenen en een scoreblok. Elke speler probeert met de dobbelstenen bepaalde combinaties te krijgen waarmee hij/zij punten scoort. De combinaties hebben veel weg van Poker.
Uitleg
De beste combinatie die mogelijk is, is Yahtzee. Dit zijn vijf dezelfde getallen. Uiteraard is dit erg lastig om te behalen. De kans dat je direct Yahtzee gooit is niet lastig te berekenen, dit is: 6/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 = 1/1296 = 0,077%. Maar laten we de Yahtzee regels volgen, wat is dan de kans dat je een Yahtzee maakt?
De speler krijgt de gelegenheid om met 5 dobbelstenen via 3 worpen bepaalde combinaties te gooien. De speler kan daarbij ook steeds slechts een deel van de dobbelstenen opnieuw gooien. We gaan hieronder de kans berekenen op een yahtzee (5-of-a-kind) in 3 worpen. Daarbij nemen we aan dat de speler de optimale strategie volgt: als hij bij een worp 2, 3 of 4 van dezelfde ogenaantallen werpt, zal hij bij de volgende worp alleen de overige dobbelstenen opnieuw werpen. Indien de uitkomsten allemaal verschillen, gooit hij de dobbelstenen allemaal opnieuw.
Kansberekening
De kansberekening is nogal complex, maar wordt berekend door een 5×5 matrix. Eerst de kansen bij de eerste worp:
P(5 hetzelfde) = 1/1296
P(4 hetzelfde) = 25/1296
P(3 hetzelfde) = 125/648
P(2 hetzelfde) = 75/108
P(geen hetzelfde) = 5/54
Dit zetten we in de matrix:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5/54 | 75/108 | 125/648 | 25/1296 | 1/6^4 |
| 2 | 0 | 5/9 | 10/27 | 15/6^3 | 1/6^3 |
| 3 | 0 | 0 | 25/36 | 5/18 | 1/6^2 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 5/6 | 1/6 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Op basis hiervan wordt de P3 berekend.
P(geen hetzelfde) = 0,00079
P(2 hetzelfde) = 0,256
P(3 hetzelfde) = 0,4524
P(4 hetzelfde) = 0,2447
P(5 hetzelfde) = 0,046
De kans op Yahtzee is dus 4,603% oftewel 1 op de 22 beurten.
